Mathématiques 1 — PeiP Semestre 2

Présentation du cours

Ce semestre s'appuie sur les acquis du Terminale et du S1 pour introduire des concepts mathématiques plus directement utiles à la modélisation et à la résolution de problèmes d'ingénierie, avec un ancrage fort dans le génie biologique et alimentaire : cinétique chimique, dynamique des populations, croissance microbienne, transferts thermiques, contrôle qualité.

Informations générales

Code : PEIP-MATH1-S2
Durée : 20h (Cours-TD)
Semestre : S2 — PeiP, Polytech Lille
Niveau : Undergraduate
Évaluation : DS (à confirmer)

Objectifs pédagogiques

À l'issue de ce semestre, les étudiants seront capables de :

Utiliser les développements limités

Formules de Taylor-Young, calcul de limites complexes, recherche d'asymptotes, analyse de position de courbe.

Résoudre des équations différentielles

Équations linéaires du 1er et 2nd ordre, systèmes 2×2 simples, modèles proie-prédateur et dynamique des populations.

Manipuler des fonctions de plusieurs variables

Dérivées partielles, gradient, recherche d'extrema, optimisation sous contraintes (Lagrange, niveau élémentaire).

Analyser des données

Statistiques descriptives, probabilités élémentaires, loi normale, applications au contrôle qualité.

Programme détaillé (20h)

Module 4 — Développements limités (3h)

Approximation polynomiale des fonctions

Approximation d'une fonction complexe par un polynôme au voisinage d'un point. Formules de Taylor-Young : développements limités des fonctions usuelles (eˣ, sin(x), cos(x), ln(1+x), (1+x)^a). Applications : calcul de limites complexes, recherche d'asymptotes, analyse de position de courbe.

Module 5 — Équations différentielles (7h)

Modélisation de phénomènes biologiques et alimentaires

Introduction : cinétique chimique, dynamique des populations, croissance microbienne, transferts thermiques.
Équations du 1er ordre : équations linéaires à coefficients constants, méthode de variation de la constante.
Équations du 2ᵉ ordre : équations linéaires à coefficients constants et second membre simple (constant, polynomial, exponentiel) ; résolution de l'équation caractéristique via les nombres complexes du S1.
Introduction aux systèmes d'équations différentielles : systèmes linéaires 2×2 simples, modèles proie-prédateur, compétition entre espèces.

Module 6 — Fonctions de plusieurs variables (6h)

Introduction et applications en génie biologique

Définition et représentation : notion de fonction f(x, y), courbes de niveau, surfaces.
Dérivées partielles : calcul, signification géométrique, interprétation physique.
Notion de gradient : vecteur indiquant la direction de plus grande pente.
Recherche d'extrema : annulation du gradient.
Applications pratiques : optimisation de rendement/coût, modélisation dépendant de plusieurs paramètres (température, pH, concentration), introduction aux multiplicateurs de Lagrange (niveau élémentaire).

Module 7 — Statistiques descriptives et probabilités élémentaires (4h)

Analyse de données et contrôle qualité

Statistiques descriptives : moyenne arithmétique, médiane, mode, variance, écart-type, histogrammes, boîtes à moustaches.
Probabilités élémentaires : notion de probabilité, événements, loi normale (propriétés de base et applications).
Applications en génie biologique et alimentaire : analyse de données expérimentales simples, introduction au contrôle qualité en industrie alimentaire.

Modalités d'évaluation

Modalités à confirmer avec la coordination pédagogique du parcours PeiP.

Contact & encadrement

Responsable du cours : Dr. Yinoussa Adagolodjo

Email : Remplir formulaire de contact sur la page d'accueil

Bureau : Bâtiment Polytech, Université de Lille