Mathématiques 1 — PeiP S3

Modéliser, simuler et analyser

Niveau Undergraduate 20h CTD Génie biologique & alimentaire S3

Présentation du cours

Ce semestre donne les outils de modélisation directement utiles aux sciences de l'ingénieur en génie biologique et alimentaire : analyse de données expérimentales, approximation, équations différentielles, transformation de Laplace et analyse spectrale. Il s'appuie sur les complexes et les fractions rationnelles du S2 et se termine par une SAÉ autour d'un fermenteur.

Informations générales

Code : PEIP-MATH1-S3
Durée : 20h (Cours-TD)
Semestre : S3 — PeiP, Polytech Lille
Niveau : Undergraduate
Évaluation : contrôle individuel + SAÉ (à confirmer)

Fil rouge : une laiterie

D'un module à l'autre et d'un semestre à l'autre, les exemples et les mises en situation s'appuient sur une même laiterie fictive : ligne de conditionnement, pasteurisateur, fermenteur, cuve agitée, contrôle qualité.

Objectifs pédagogiques

À l'issue de ce semestre, les étudiants seront capables de :

Analyser des données

Résumer, représenter et interpréter des mesures ; raisonner avec l'incertitude ; suivre une production par carte de contrôle.

Approcher et linéariser

Utiliser les développements limités pour calculer des limites et simplifier un modèle.

Modéliser par des équations différentielles

Résoudre les équations linéaires du 1er et du 2nd ordre, à la main, par Laplace ou numériquement.

Lire un spectre

Décomposer un signal périodique, identifier ses fréquences dominantes et interpréter un filtrage.

Programme détaillé (20h)

S3-M1 — Statistiques et probabilités (4h)

Analyser des données, contrôle qualité

Statistiques descriptives (moyenne, médiane, variance, écart-type, histogrammes, boîtes à moustaches), probabilités élémentaires et loi normale, carte de contrôle ; rappels de dénombrement.
Laiterie : taux de matière grasse d'une série de bouteilles, carte de contrôle de la ligne. Analyse sur tableur ou Python.

S3-M2 — Équivalents et développements limités (3h)

Approcher une fonction par un polynôme

Équivalents, formule de Taylor-Young, développements limités usuels (eˣ, sin, cos, ln(1+x), (1+x)^α), opérations, calcul de limites.
Application : linéarisation d'un modèle, règle du Q₁₀ (effet de la température sur la fermentation).

S3-M3 — Équations différentielles (4h)

Modéliser une évolution

Équations linéaires du 1er ordre à coefficients constants et second membre simple ; équations du 2nd ordre à coefficients constants (équation caractéristique via les complexes du S2) ; méthode d'Euler sur tableur ou Python.
Application : refroidissement du lait après pasteurisation (loi de Newton), croissance des ferments.

S3-M4 — Transformation de Laplace (3h)

Résoudre autrement

Définition, table des transformées, transformée d'une dérivée, résolution d'une équation différentielle, réponse à un échelon, inversion par éléments simples (S2).
Application : réponse de la température du pasteurisateur à un échelon de consigne.

S3-M5 — Signaux périodiques et spectre (3h30)

Séries de Fourier, introduction à la transformée

Coefficients de Fourier, spectre d'un signal périodique, idée de la transformée de Fourier, FFT numérique sur une mesure.
Application : vibrations de l'agitateur d'une cuve — fréquence dominante et filtrage.

SAÉ 2 — Concevoir et piloter un fermenteur (2h)

Situation d'apprentissage et d'évaluation

Travail en groupe préparé en autonomie, finalisé et présenté en séance : analyse statistique de mesures (S3-M1), linéarisation (S3-M2), modèle et simulation (S3-M3), réponse par Laplace (S3-M4), spectre de l'agitation (S3-M5), note de conception.

Prérequis

La transformation de Laplace et l'analyse de Fourier s'appuient sur le calcul intégral (primitives usuelles, intégration par parties, intégrale sur [0, +∞[), traité dans le cours d'analyse du parcours. 30 min de marge sont réservées dans le semestre pour un rappel ou un retour sur contrôle.

Modalités d'évaluation

Organisation envisagée sur l'ensemble du parcours (S1 → S3), pondérations à confirmer avec la coordination pédagogique du parcours PeiP :

• Positionnement (S1, première séance) : test de 20 min, non noté, qui oriente le travail personnel.
• Contrôles individuels sur le noyau des modules : environ 50 %.
• SAÉ 1 (fin de S2) et SAÉ 2 (fin de S3), en groupe : environ 25 % chacune. L'énoncé est distribué 3 à 4 semaines avant ; la séance de 2h sert à finaliser, rendre et présenter.

Contact & encadrement

Responsable du cours : Dr. Yinoussa Adagolodjo

Email : Remplir formulaire de contact sur la page d'accueil

Bureau : Bâtiment Polytech, Université de Lille